广义牛顿流体的类型及流变特征,什么是牛顿流体?

直接明了版:牛顿流体的受力变形是线性关系;非牛顿流体的受力变形不是线性关系。

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流体的受力

为了直观理解,我们举一个生活中的简单栗子:

将手掌平放在桌面上,请问手掌对桌面会有什么样的作用力?

很明显,分两种:一曰“”,二曰“”。相邻的流体层之间也只存在这两种受力:

只不过我们将这种“压”的力叫做正应力,“搓”的力叫做切应力。并且注意,在上图中的直角坐标系中:

正应力沿着 z 轴方向垂直于作用表面,只有一个分量,我们记作 \sigma_z ;切应力平行于作用平面的方向,有 x 和 y 轴上两个分量,我们分别记作 \sigma_x 和 \sigma_y .

现在从面到体,考虑一个长方体形流体微团 dx\cdot dy\cdot dz ,它有六个面,每个面上都会受到三个方向上的力,所以就有六对\sigma_x、\sigma_y和\sigma_z。

但是我们所研究的对象是 x 、 y 、z 这三个面上的力,或者说过指定点的正交面只有三个。因此微团的受力就可以表述为三对\sigma_x、\sigma_y和\sigma_z。

即:

垂直于 x 轴的平面上的\sigma_{xx}、\sigma_{xy}、\sigma_{xz};垂直于 y 轴的平面上的\sigma_{yx}、\sigma_{yy}、\sigma_{yz};垂直于 z 轴的平面上的\sigma_{zx}、\sigma_{zy}、\sigma_{zz};

这九个分量的下标中,第一个字母代表所垂直的坐标轴,第二个字母代表力的方向。比如\sigma_{xy}就表示“在垂直于 x 轴的面上沿着 y 轴方向的力”。

综上,流体的受力就可以表示为一个二阶张量:

\Gamma_{ij}=\left[ \tau_{ij} \right]=\begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy}& \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy}& \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy}& \sigma_{zz}\end{bmatrix}\quad

看完受力再看变形:

流体的变形

所谓变形,其实就是不同点之间发生了相对运动。换言之,看变形得从速度出发,我们观察流体微团中的两个点 A(x,y,z)和 B(x+dx,y+dy,z+dz):

其中,A点的速度为 V_A(x,y,z)=\begin{bmatrix} u \\ v \\ w\end{bmatrix}\quad

B点的速度 V_B(x+dx,y+dy,z+dz)=\begin{bmatrix} u+du \\ v+dv \\ w+dw\end{bmatrix}\quad

由于要看变形,所以我们看这两个点的相对速度 V_B-V_A ,结合多元微分学有:

V_B-V_A=\begin{bmatrix}du \\ dv \\ dw\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{∂u}{∂x}&\frac{∂u}{∂y}&\frac{∂u}{∂z} \\ \frac{∂v}{∂x}&\frac{∂v}{∂y}&\frac{∂v}{∂z} \\ \frac{∂w}{∂x}&\frac{∂w}{∂y}&\frac{∂w}{∂z}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} dx \\ dy \\ dz\end{bmatrix}\quad

那么矩阵 D_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{∂u}{∂x}&\frac{∂u}{∂y}&\frac{∂u}{∂z} \\ \frac{∂v}{∂x}&\frac{∂v}{∂y}&\frac{∂v}{∂z} \\ \frac{∂w}{∂x}&\frac{∂w}{∂y}&\frac{∂w}{∂z}\end{bmatrix} 就表征了流体的相对运动。它可以拆分成两部分:

D_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{∂u}{∂x}&\frac{1}{2}\left( \frac{∂u}{∂y}+\frac{∂v}{∂x} \right)&\frac{1}{2}\left( \frac{∂u}{∂z}+\frac{∂w}{∂x} \right) \\ \frac{1}{2}\left( \frac{∂v}{∂x}+\frac{∂u}{∂y} \right)&\frac{∂v}{∂y}&\frac{1}{2}\left( \frac{∂v}{∂z}+\frac{∂w}{∂y} \right) \\ \frac{1}{2}\left( \frac{∂w}{∂x}+\frac{∂u}{∂z} \right)&\frac{1}{2}\left( \frac{∂w}{∂y}+\frac{∂v}{∂z} \right)&\frac{∂w}{∂z}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0&\frac{1}{2}\left( \frac{∂u}{∂y}-\frac{∂v}{∂x} \right)&\frac{1}{2}\left( \frac{∂u}{∂z}-\frac{∂w}{∂x} \right) \\ \frac{1}{2}\left( \frac{∂v}{∂x}-\frac{∂u}{∂y} \right)&0&\frac{1}{2}\left( \frac{∂v}{∂z}-\frac{∂w}{∂y} \right) \\ \frac{1}{2}\left( \frac{∂w}{∂x}-\frac{∂u}{∂z} \right)&\frac{1}{2}\left( \frac{∂w}{∂y}-\frac{∂v}{∂z} \right)&0\end{bmatrix}

第一部分表示拉伸变形和剪切变形 ,第二部分表示刚性旋转。所以流体的变形只与第一项矩阵有关:

S_{ij}=\left[ s_{ij} \right]=\begin{bmatrix} \frac{∂u}{∂x}&\frac{1}{2}\left( \frac{∂u}{∂y}+\frac{∂v}{∂x} \right)&\frac{1}{2}\left( \frac{∂u}{∂z}+\frac{∂w}{∂x} \right) \\ \frac{1}{2}\left( \frac{∂v}{∂x}+\frac{∂u}{∂y} \right)&\frac{∂v}{∂y}&\frac{1}{2}\left( \frac{∂v}{∂z}+\frac{∂w}{∂y} \right) \\ \frac{1}{2}\left( \frac{∂w}{∂x}+\frac{∂u}{∂z} \right)&\frac{1}{2}\left( \frac{∂w}{∂y}+\frac{∂v}{∂z} \right)&\frac{∂w}{∂z}\end{bmatrix}

牛顿流体:受力与变形的关系

斯托克斯基于流体连续、各向同性、静止无粘、应力与应变率之间是线性关系这些假设,推导出了力 \tau_{ij} 与变形率 s_{ij} 之间的关系(不推导了直接摆结果吧):

对于正应力:

\sigma_{xx}=2\mu\frac{∂u}{∂x}-\frac{2}{3}\mu\left( \frac{∂u}{∂x}+\frac{∂u}{∂y}+\frac{∂u}{∂z} \right)-p

\sigma_{yy}=2\mu\frac{∂v}{∂y}-\frac{2}{3}\mu\left( \frac{∂u}{∂x}+\frac{∂u}{∂y}+\frac{∂u}{∂z} \right)-p

\sigma_{zz}=2\mu\frac{∂w}{∂z}-\frac{2}{3}\mu\left( \frac{∂u}{∂x}+\frac{∂u}{∂y}+\frac{∂u}{∂z} \right)-p

对于切应力:

\sigma_{xy}=\sigma_{yx}=\mu\left( \frac{∂u}{∂y} +\frac{∂v}{∂x}\right)

\sigma_{xz}=\sigma_{zx}=\mu\left( \frac{∂u}{∂z} +\frac{∂w}{∂x}\right)

\sigma_{yz}=\sigma_{zy}=\mu\left( \frac{∂v}{∂z} +\frac{∂w}{∂y}\right)

这是牛顿流体的本构方程,也就是说,凡是满足这个方程的都叫牛顿流体。

到这里问题似乎解决了,但是只放出这样的方程非常缺德。这里再将本构方程翻译成人能听懂的话:

正应力正比于线应变变化率,类似于弹簧的拉力正比于弹簧伸长量:

左边弹簧拉力正比于变形量,右边流体正应力正比于线应变变化率

切应力正比于角变形,类似于扭簧的拉力正比于角变形:

左边扭簧拉力正比于角变形,右边流体切应力正比于角变形率

这是相对比较直观的理解。我们可以认为非牛顿流体就相当于失效以后不再满足胡克定律的弹簧,虽然用了更大的力,但是变形没有再按原来的趋势增加。

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