相交线与平行线的例题,相交线与平行线知识点总结(2)

二、平行线

1.平行线的概念:

在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线 a 与直线b 互相平行,记作 a ∥b 。

2.两条直线的位置关系

在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:⑴相交;⑵平行。

因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时,就可以肯定它们平行;反过来也一样(这里,我们把重合的两直线看成一条直线) 判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定:

①有且只有一个公共点,两直线相交;

②无公共点,则两直线平行;

③两个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条直线)

3.平行公理

平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。

4.平行公理的推论

如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。

如左图所示,∵b ∥ a , c ∥ a

∴b ∥ c

注意符号语言书写,前提条件是两直线都平行于第三条直线,才能得出结论,这两条直线都平行。

5.三线八角

两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角、内错角与同旁内角。

如图,直线 a, b 被直线 l 所截。

①∠1 与∠5 在截线l 的同侧,同在被截直线 a, b 的上方, 叫做同位角(位置相同)

②∠5 与∠3 在截线l 的两旁(交错),在被截直线 a, b 之间(内),叫做内错角(位置在内且交错)

③∠5 与∠4 在截线l 的同侧,在被截直线 a, b 之间(内),叫做同旁内角。

④三线八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型;内错角是“Z”型;同旁内角是“U” 型。

6.如何判别三线八角

判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”,有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看,有时又需要把图形补全。

例如:

如图,判断下列各对角的位置关系:⑴∠1 与∠2;⑵∠1 与∠7;⑶∠1 与∠BAD;⑷∠2与∠6;⑸∠5 与∠8。

我们将各对角从图形中抽出来(或者说略去与有关角无关的线),得到下列各图。 如图所示,不难看出∠1 与∠2 是同旁内角;∠1 与∠7 是同位角;∠1 与∠BAD 是同旁内角;∠2 与∠6 是内错角;∠5 与∠8 对顶角。

7.两直线平行的判定方法

方法一 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行

简称:同位角相等,两直线平行

方法二 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行

简称:内错角相等,两直线平行

方法三 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行

简称:同旁内角互补,两直线平行

几何符号语言:

∵ ∠3=∠2

∴ AB∥CD(同位角相等,两直线平行)

∵ ∠1=∠2

∴ AB∥CD(内错角相等,两直线平行)

∵ ∠4+∠2=180°

∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)

请注意书写的顺序以及前因后果,平行线的判定是由角相等,然后得出平行。平行线的判定是写角相等,然后写平行。

注意:⑴几何中,图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系,常由“位置关系”决定其“数量关系”,反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”, 判定两直线“平行”这种“位置关系”。

⑵根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法还有两种:①如果两条直线 没有交点(不相交),那么两直线平行。②如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条 直线平行。

典型例题:判断下列说法是否正确,如果不正确,请给予改正:

⑴不相交的两条直线必定平行线。

⑵在同一平面内不相重合的两条直线,如果它们不平行,那么这两条直线一定相交。

⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行

解答:⑴错误,平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”。“在同一平面内”是一项重要 条件,不能遗漏。

⑵正确

⑶不正确,正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”。因为如果这一点不在 已知直线上,是作不出这条直线的平行线的。

典型例题:如图,根据下列条件,可以判定哪两条直线平行,并说明判定的根据是什么?

解答:⑴由∠2=∠B 可判定 AB∥DE,根据是同位角相等,两直线平行;

⑵由∠1=∠D 可判定 AC∥DF,根据是内错角相等,两直线平行;

⑶由∠3+∠F=180°可判定 AC∥DF,根据同旁内角互补,两直线平行。

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