算法研究Bresenham画线算法,Bresenham直线算法与画圆算法

在我们内部开发使用的一个工具中,我们需要几乎从 0 开始实现一个高效的二维图像渲染引擎。比较幸运的是,我们只需要画直线、圆以及矩形,其中比较复杂的是画直线和圆。画直线和圆已经有非常多的成熟的算法了,我们用的是Bresenham的算法。

计算机是如何画直线的?简单来说,如下图所示,真实的直线是连续的,但我们的计算机显示的精度有限,不可能真正显示连续的直线,于是我们用一系列离散化后的点(像素)来近似表现这条直线。

Bresenham直线算法示意(上图来自于互联网络,《计算机图形学的概念与方法》柳朝阳,郑州大学数学系)

接下来的问题就是如何尽可能高效地找到这些离散的点,Bresenham直线算法就是一个非常不错的算法。

Bresenham直线算法是用来描绘由两点所决定的直线的算法,它会算出一条线段在 n 维光栅上最接近的点。这个算法只会用到较为快速的整数加法、减法和位元移位,常用于绘制电脑画面中的直线。是计算机图形学中最先发展出来的算法。(引自wiki百科布雷森漢姆直線演算法)

这个算法的流程图如下:

Bresenham直线算法流程图

可以看到,算法其实只考虑了斜率在 0 ~ 1 之间的直线,也就是与 x 轴夹角在 0 度到 45 度的直线。只要解决了这类直线的画法,其它角度的直线的绘制全部可以通过简单的坐标变换来实现。

下面是一个C语言实现版本。

// 交换整数 a 、b 的值inline void swap_int(int *a, int *b) {*a ^= *b;*b ^= *a;*a ^= *b;}// Bresenham's line algorithmvoid draw_line(IMAGE *img, int x1, int y1, int x2, int y2, unsigned long c) {// 参数 c 为颜色值int dx = abs(x2 - x1),dy = abs(y2 - y1),yy = 0;if (dx < dy) {yy = 1;swap_int(&x1, &y1);swap_int(&x2, &y2);swap_int(&dx, &dy);}int ix = (x2 - x1) > 0 ? 1 : -1, iy = (y2 - y1) > 0 ? 1 : -1, cx = x1, cy = y1, n2dy = dy * 2, n2dydx = (dy - dx) * 2, d = dy * 2 - dx;if (yy) { // 如果直线与 x 轴的夹角大于 45 度while (cx != x2) {if (d < 0) {d += n2dy;} else {cy += iy;d += n2dydx;}putpixel(img, cy, cx, c);cx += ix;}} else { // 如果直线与 x 轴的夹角小于 45 度while (cx != x2) {if (d < 0) {d += n2dy;} else {cy += iy;d += n2dydx;}putpixel(img, cx, cy, c);cx += ix;}}}

可以看到,在画线的循环中,这个算法只用到了整数的加法,所以可以非常的高效。

接下来,我们再来看一看Bresenham画圆算法。

Bresenham画圆算法又称中点画圆算法,与Bresenham 直线算法一样,其基本的方法是利用判别变量来判断选择最近的像素点,判别变量的数值仅仅用一些加、减和移位运算就可以计算出来。为了简便起见,考虑一个圆心在坐标原点的圆,而且只计算八分圆周上的点,其余圆周上的点利用对称性就可得到。

为什么只计算八分圆周上的点就可以了呢?和上面的直线算法类似,圆也有一个“八对称性”,如下图所示。

圆的八对称性

显然,我们只需要知道了圆上的一个点的坐标 (x, y) ,利用八对称性,我们马上就能得到另外七个对称点的坐标。

和直线算法类似,Bresenham画圆算法也是用一系列离散的点来近似描述一个圆,如下图。

Bresenham画圆算法示意(上图来自于互联网络,《计算机图形学的概念与方法》柳朝阳,郑州大学数学系)

Bresenham画圆算法的流程图如下。

Bresenham画圆算法流程图

可以看到,与画线算法相比,画圆的循环中用到了整数的乘法,相对复杂了一些。

下面是一个C语言实现版本。

// 八对称性inline void _draw_circle_8(IMAGE *img, int xc, int yc, int x, int y, unsigned long c) {// 参数 c 为颜色值putpixel(img, xc + x, yc + y, c);putpixel(img, xc - x, yc + y, c);putpixel(img, xc + x, yc - y, c);putpixel(img, xc - x, yc - y, c);putpixel(img, xc + y, yc + x, c);putpixel(img, xc - y, yc + x, c);putpixel(img, xc + y, yc - x, c);putpixel(img, xc - y, yc - x, c);}//Bresenham's circle algorithmvoid draw_circle(IMAGE *img, int xc, int yc, int r, int fill, unsigned long c) {// (xc, yc) 为圆心,r 为半径// fill 为是否填充// c 为颜色值// 如果圆在图片可见区域外,直接退出if (xc + r < 0 || xc - r >= img->w ||yc + r < 0 || yc - r >= img->h) return;int x = 0, y = r, yi, d;d = 3 - 2 * r;if (fill) {// 如果填充(画实心圆)while (x
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