03年北京数学竞赛一道复赛题的多种解法,马来西亚签证中心

“数学奥林匹克”,被誉为数学思维的“体操”。开设奥数教育和奥数竞赛,其目的是发现具有优秀数学潜质的少年,对孩子进行适度启智教育,培养学生对数学的好奇和兴趣。

华东师范大学教授熊斌担任了至少10年中国数学奥林匹克国家队领队,数学对于青少年脑力锻炼、思维逻辑、兴趣培养、发掘专才等方面的作用,他深有感触,但是他也见到过无数家长为自己的孩子是否要学奥数纠结。究竟什么样的孩子适合学奥数?自家孩子到底要不要学“奥数”?

在不久前的第14届国际数学教育大会上,他谈了对于数学竞赛和人才选拔的看法。

中国的数学竞赛始于1956年,这一年,北京、天津、上海、武汉四大城市分别举办了高中数学竞赛。华罗庚教授亲自担任北京市竞赛委员会主席,并主持命题工作。老一辈数学家华罗庚、傅种孙、陈建功、苏步青、段学复、江泽涵等作了专题报告。从专家阵容可见这一活动受到重视的程度。

在我国数学竞赛创办之初,华罗庚教授就担心,“这一工作会不会打乱学校的工作呢?会不会影响全面发展的原则呢?做得不好,是有可能的。”在过去一段时间,数学竞赛活动全民化、低龄化等现象饱受质疑,多多少少印证了华罗庚先生的这种担心。国内外有不少数学家赞成并积极倡导数学竞赛,肯定其教育价值,但他们也对数学竞赛持十分谨慎的态度。

数学竞赛选手中涌现出了一批优秀青年人才

中国数学竞赛活动最初主要是由老一辈数学家倡导并亲自主持,在个别重要城市举办,属于中国数学竞赛的早期萌芽。1985年,中国首次参加了第26届国际数学奥林匹克(IMO),当时只去了两名同学,后来一般都是派出6名队员。其后进入中国数学竞赛活动蓬勃发展的阶段,并于1990年在北京举办了第31届IMO。与此同时,各级各类竞赛活动蓬勃开展,学习材料丰富多样,数学竞赛的培训成为部分学生的第二课堂,甚至成为尖子生的“第二学校”。

中国的数学竞赛选手中已经涌现出许多优秀的青年数学人才,如张伟、恽之玮、许晨阳、刘一峰等著名的拉马努金奖(Ramanujan Prize)获得者以及朱歆文、王菘、刘若川、何宏宇、何斯迈、袁新意、肖梁等在国内外知名高校或科研机构从事数学研究工作的学者。2008年、2009年IMO的满分金牌获得者韦东奕,在研究生一二年级时就做出了很好的成果。

包括我在内,中国共有6位保罗・厄尔多斯奖获得者,其他几位分别是裘宗沪、孙文先、柳贤、岑嘉平、冷岗松。

随着各项数学竞赛活动的举办,全国各地广泛开展数学竞赛教育活动,并形成了一定的数学竞赛培训体系。中国的数学竞赛水平日益提升,在国际上取得了十分优异的成绩。

中国的数学竞赛培训体系呈现“校级――省市级――省际级”的结构,兼顾普及与提高,交叉覆盖到学生的各个年龄段以及学习水平层次。其中,省际级数学竞赛活动主要由一些区域性数学竞赛和特色夏令营活动组成,每年可以生成大量的共享资源。

此外,教练员培训也是整个培训体系的一部分。中国数学会普及工作委员会于1988年起建立了“中国数学奥林匹克等级教练员制度”,中国数学会及各省市的数学会,经常开设有中学青年教师的培训班并有相关的评定。在一些师范院校,除了数学教育的基础课程与教学实习之外,还会开设数学竞赛与解题原理、数学方法论等一些选修课程,为师范生踏上教练员岗位做好前期准备。

作为数学资优生培养的一种方式,数学竞赛的培训从长远来说在于培养未来的数学家和科学拔尖人才。有不少数学教育家和实践者注重鼓励中学师生,在数学竞赛活动中进行研究型的学习和学术交流。

数学竞赛培养的究竟是什么样的数学能力

奥数培训的全民化近年来受到诸多诟病,但是数学竞赛本身毫无疑问有其数学能力的培养体系,同时数学竞赛中的数学开放题也受到越来越多的重视。那么数学竞赛究竟培养的是什么样的数学能力?

近年来几何教学在我国中小学课程中有所削弱,缺乏逻辑推理训练妨碍了学生推理与证明技能的发展,也引起了数学家与数学教育者的忧虑。

然而,在各级各类数学竞赛中,平面几何仍保持稳定的比重,特别是在近些年的IMO中,常有高难度的几何题被各国领队推选为正式赛题。这种导向作用对维持数学资优生推理与证明的学习水平多少是有益的。

又比如,数学竞赛题常常要求学生站在更高的层次,识别和使用数学思维中的“关联”,能选择、应用和转换数学的表征,灵活转换命题以解决问题,这就训练了他们的联结与表征能力。

此外,学生的数学交流及形式化表达的能力也被不断地训练与提高,因为他们要清楚呈现自己的数学想法或解题过程,也需要在与老师、同学的交流中吸收、分析、评价他人的数学想法和解题策略。

更重要的是,数学竞赛提供了大量的“问题解决”的训练素材,这些题目往往不能简单地套用课本的公式或定理完成求解,而是需要一定的数学洞察力与创造性思维。正如华罗庚教授所指出的,“数学竞赛的性质和学校中的考试是不同的,和大学的入学考试也是不同的,我们的要求是,参加竞赛的同学不但会代公式,会用定理,而且更重要的,是能够灵活地掌握已知的原则,和利用这些原则去解决问题的能力,甚至创造出新的方法、新的原则去解决问题。这样的要求,可以很正确地考验和锻炼同学们的数学才能。”

数学开放题,解法往往超出命题者预想

“数学开放题”(Open Ended Problems)是涉及解题创造性的另一大课题。这一课题最先从日本引进,在戴再平教授的倡导下,我国的数学开放题教学获得了丰富的理论成果。

粗略地说,数学开放题就是答案不唯一的题。一般的中学数学题只有唯一的正确答案,从解法多样的角度讲,即便是“一题多解”,往往也只有为数不多的几种易于想到的解法。然而,在越高层次的数学竞赛中,越有可能出现“解法开放”的现象――这些解法往往超出命题者的预想。

比如,在2013年全国高中数学联赛加试的4道题中,有3道的解答过程事后得到了简化;在2014年的国家集训队中,主试委员会经过阅卷,发现了不少漂亮解法,另有几题的预设解答亦得到了简化,这些题占总数的一半以上;在2014年东南地区数学奥林匹克中,一位选手在最难的一道赛题中获得了简明解法,将原解法缩短了一半,超出主试委员会所有专家的预计。这并不奇怪,据记载,在1980年芬兰、英国、匈牙利、瑞典举行的四国联合竞赛中,有一道题目的解法相当繁琐,前后用了四次数学归纳法,译成中文约有4000字,后来我国的专家给出了一些简单的解法,均只需十余行字,但其代数变形的隐蔽性很强,十分不易发现。

在历届IMO中,对于那些得到特别漂亮的解法和非平凡的推广的选手,主试委员会会颁发特别奖。至今为止,特别奖已授予了40多名选手。

可以十分肯定地说,许多被研究和讨论过的竞赛题仍具有高度的“解法开放性”,在新的求解者的“攻击”下,还可能发现其他解法,或引出新的不平凡的问题。

同时,数学竞赛中还有大量的探究性问题,在面对这些问题时,学生的目标是不确定的,无现成的模式可套用,求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索。

因此,尽管数学竞赛题与数学开放题在内涵上有所不同,但在培养资优学生的创造能力方面,利用好数学竞赛题,完全能够高质量地达成数学开放题教学的一部分功效。

始终保持对数学的兴趣比竞赛得奖更重要

关于数学竞赛“全民化”,我国学者持有多种见解。有人提出数学竞赛教育应面向全体中学生,使学生感受灵活的思维方式,受到解题艺术的熏陶。也有人认为,数学竞赛是适合少数人(例如5%的人)的活动,应当控制影响面。其实,正如体育运动一样,全民运动是为了强身健体,而专业运动员则要求有成绩的突破。同样地,从数学普及功能而言,数学竞赛题完全可以面向广大中小学生;但从发现和选拔人才的角度而言,数学竞赛的确只适合于有浓厚兴趣和较强数学能力的少数学生。如果强求大多数学生投入到高水平的数学竞赛训练中,是违反教育规律的。

关于数学竞赛“低龄化”,其实在历届IMO中不乏低年级学生获奖的情况,例如菲尔兹奖得主陶哲轩(Terence Tao)在12岁时就获得了IMO金牌。开展数学竞赛有利于发现这种极个别的超常儿童的数学天分。然而过度低龄化也将带来弊端,如柯尔莫戈洛夫指出“那些在五、六年级时参加过解题竞赛的男孩和女孩们,到了高年级之后,其中的大多数人都会失去他们的解题本领,甚至失去对数学的兴趣。”因此,如何让超常学生发展数学能力的同时,始终保持对数学的兴趣,是开展数学竞赛活动时必须考虑的。

近年来,随着数学竞赛教育的全民化、低龄化,全国各地低年龄选手的解题水平大幅提高,初中竞赛的试题难度和复杂程度也水涨船高,似有与课堂教学脱节之嫌。

有一种观点是,“当数学竞赛中出现的内容为越来越多的中学师生所熟悉和掌握时,它就完成了奥林匹克使命,而成为中学数学的一部分,这就是一种普及、一种传播。”其实,在文化得以传播的同时,也将带来两方面的挑战。一方面,越来越多的课外内容被“普及”到课内,可能会使学生潜在的学习材料过多,加重学业的负担,该如何控制这种影响;另一方面,数学竞赛的内容在被普及的同时,往往就失去了选拔的功能,因此还需要有包括数学家在内的各方力量相互配合,做好命题工作,保证命题的新颖性及能力导向性。无论从哪方面讲,数学竞赛都应尽量避免在大家都熟悉的、或是已有规范研究的领域中提出越来越复杂的问题。

总之,我国的数学竞赛教育是对课堂教学的一种补充和提升,但在处理普及和选拔、大众教育和精英教育的关系上,仍将做出长期的实践探索。

(作者为上海市核心数学与实践重点实验室主任,华东师范大学国际数学奥林匹克研究中心主任 熊斌)

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